
ESPACIO DE FASE

Ecuacin en diferencias
x(t+1) = f(xt)
x(t+1) = xt = xe

Ecuacin diferencial
dx/dt = f(x)


ESPACIO DE FASE DE UN SISTEMA 2X2 DE EC. DIFERENCIALES
dx1/d_ = a11*x1 + a12*x2 + b1
dx2/d_ = a21*x1 + a22*x2 + b2
x1(0) = x1 (con rayita encima)
x2(0) = x2 (con rayita encima)

Solucin:
x1 = x1(t)
x2 = x2(t)

[Se dibuj una grfica de x2 respecto a x1.]

Puntos de equilibrio
dx1/d_ = 0
dx2/d_ = 0

Estos puntos de equilibrio se representan en el grfico de x2 frente a x1.
Despus se analiza el comportamiento alrededor de ese punto.

EJEMPLO:
dx1/d_ = -x1 + x2
dx2/d_ = -x1 - x2
x1(0) = 1; x2(0) = 3

Ver script: sis2x2.m

Luego ejecutamos:
[t,x] = ode23('sis2x2', [0,50], [1,3]);

Para obtener los grficos de la solucin:
plot(t, x(:,1))
plot(t, x(:,2))

Para dibujar el espacio de fases:
plot(x(:,1), x(:,2))

En el espacio de fases vemos una espiral que se acerca al
punto de equilibrio, que es (0,0).

OTRO EJEMPLO:
dx1/d_ = -2x1 - x2
dx2/d_ = 4x1 - 7x2
x1(0) = 2; x2(0) = 3;

(Tambin suele representarse de manera matricial.)

Punto de equilibrio:
x1=0 x2=0

Ver script: sis2x2b.m

Luego ejecutamos:
[t,x] = ode23('sis2x2b', [0,50], [2,3]);
plot(x(:,1), x(:,2))

OTRO EJEMPLO:
dx1/d_ = 2x1 + x2
dx2/d_ = -5x1 - 2x2
x1(0) = 2; x2(0) = 3;

Ver script: sis2x2c.m

Luego ejecutamos:
[t,x] = ode23('sis2x2c', [0,10], [2,3]);
plot(x(:,1), x(:,2))

OTRO EJEMPLO:
Ver script: sis2x2d.m

Luego ejecutamos:
[t,x] = ode23('sis2x2d', [0,5], [2,3]);
plot(x(:,1), x(:,2))

ECUACIN DE VAN DER POL:
d^2*x/d_^2 + (x^2-1)*dx/d_ + x = 0

Cambio de variable para resolverlo:
x1 = x
x2 = dx/d_

Por tanto:
dx1/d_ = x2
dx2/d_ = -(x1^2-1)*x2-x1

Ver script: sis2x2e.m

Lo probaremos con este equilibrio inicial:
x1(0) = 1/3; x2(0) = 0;

Ejecutamos:
[t,x] = ode45('sis2x2e', [0,20], [1/3,0]);
plot(t, x(:,1))
plot(t, x(:,2))
plot(x(:,1), x(:,2))

Para representar las 2 variables conjuntamente:
plot(t, x(:,1), t, x(:,2))
